VIBRACIÓN, AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIA

INTRODUCCIÓN: VIBRACIONES

Partimos de un sistema en el que hay una masa y un muelle entre la masa y una pared (eje Y). A este sistema se le llama sistema resonante de 2º orden. Existen muchos ejemplos más, pero nos vamos a centrar en éste por lo inmediato que resulta comprobar lo aquí mostrado, cualquiera pude coger una goma y un peso y hacerlo oscilar. Se pueden coger diferentes tipos de gomas y se puede ver que el comportamiento de las oscilaciones no es el mismo, al igual que si variamos el peso.

Este sistema puede representar un altavoz, es una masa móvil (cono) y un muelle (suspensión). Muchos de los lectores tendrán algo de experiencia con el diseño de cajas acústicas y conocerán las cajas cerradas. Una caja cerrada, aparte de evitar el cortocircuito acústico, es capaz de modificar los parámetros del altavoz, de manera que este de comportará de manera diferente según sea la caja.

Hay infinidad de sistemas que se comportan igual, no sólo mecánicos, sino como veremos al final eléctricos.

Si su nivel de matemáticas no le permite seguir la deducción, al final de cada apartado hay un párrafo con las conclusiones en lenguaje no matemático.

 

Todas las derivadas serán respecto del tiempo.

La posición de la masa es x, su masa M y K la constante elástica del muelle, y el muelle se halla parcialmente extenido.

Tenemos:

(ley de hooke)

Por la ley de acción y reacción (2ª de Newton), el módulo de la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa es la misma que recibe la masa (de cajón), y el sentido el opuesto. Osea:

Para resolver de manera sencilla la ecuación se hace

, y de la ecuación caracteristica se deduce que la solución es de la forma:

Aplicando las condiciones iniciales de

sale que la solución es

(x0 posición inicial).

Osea, que el sistema resonante vibra de manera armónica y permanece así indefinidamente si nada lo frena. Esto, como veremos a continuación, en el mundo real no es posible, ya que siempre hay pérdidas de esa energía que le hace vibrar.

La frecuencia a la que vibra el sistema se conoce como frecuencia de resonancia del sistema (Fs), y viene dada por:

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CONCEPTO DE AMORTIGUAMIENTO

En el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo que sea, no existe el movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), y en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico simple:

El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son las fuerzas de rozamiento con fluídos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. c es un coeficiente de rozamiento viscoso.

F=c*v = c*x'

(cuando el cono está parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o está compensada), la ecuación se hace:

Para que resolver la ecuación característica sea más fácil, hacemos

y

tenemos:

La ecuación característica es:

Las raíces son:

(ec 1)

Esto muestrs tres casos posibles, en los que las raíces son diferentes, iguales o complejas. Estamos llegando a la compresión del fenómeno del amortiguamiento.

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TRES CASOS:

CASO 1

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Por lo tanto,

... y tenemos dos raíces reales. La solución es

donde m1 y m2 son negativos. La gráfica de esto es una exponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:

El eje vertical corresponte a la posición del cono y el horizontal al tiempo. La masa tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente.

A este caso se le llama MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO

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CASO 2

Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,

y

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución es

La gráfica de esto es como un lado de una campana de Gauss. La masa también tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente, pero la velocidad al principio crece lentamente.

Este es el caso del MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. Su importancia radica en que es el estado límite entre el comportamiento anterior (sobreamortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.

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CASO 3

En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y conjugadas.

Para simplificar las ecuaciones, haremos:

Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de números complejos, tenemos una solución de la forma:

Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremos

Y con un último cambio,

tendremos la solución que nos indica cómo será el movimiento de una manera más sencilla que la anterior.

Es decir, es una onda senoidal con un desfase determinado, modulada por una exponencial que decrece con el tiempo y una constante.

La masa tenderá a su posición de reposo pero habrá la fuerza amortiguadora no es lo suficientemente fuerto como para frenerlo antes de que llegue al punto x=0 (punto de reposo). Como se puede ver a la derecha, se pasará del punto de reposo.

Luego volverá en la otra direción, se pasará de nuevo del centro y volverá a pasarse cuando vuelva, cada vez la oscilación será menor, así hasta en infinito donde teóricamente se detendrá.

En la gráfica de la derecha se puede ver el movimiento un tanto exagerado (para lo que sería un altavoz), y la exponencial como módulo de la función coseno.

Este tipo de movimiento se llama MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO

En dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un sólo ciclo, por lo que no tiene sentido hablar de frecuencias, pero en este último caso, el sistema si tiene una frecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el coeficiente que acompaña al tiempo en la función periódica coseno, que es:

Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace próximo a cero la fórmula tiende a la del caso donde no había amortiguamiento:

Es de imaginar también que cuanto menor es el amortiguamiento más se parecerá la última fórmula a una función coseno, es decir: la vibración durará más tiempo cuanto menos amortiguada esté.

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VIBRACIONES FORZADAS

Si añadimos una fuerza más al sistema anterior, tendremos algo más próximo a lo que sucede en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero además existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fe es la nueva fuerza añadida.

Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas presentes:

En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:

(ec2)

Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución particular. Tomaremos como solución:

Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema

de donde otenemos A y B, que son:

Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:

Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:

y nos queda la siguiente solución particular:

Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

Sobreamortiguado:

Críticamente amortiguado:

Submortiguado:

En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.

¿de qué nos sirve esto?

Sirve para interpretar la respuesta temporal del sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los que mejores características temporales poseen, mientras que los sistemas subamortiguados son los que peor se comportan.

Por decirlo de alguna manera, los tiempos de establecimiento (subida y bajada completa) de la onda (pensando más bien en valor abosluto, quizás en un valor RMS) son menores en los sistemas sobreamortiguados que en los subamortiguados.

En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la respuesta ante tres ciclos de onda de un sistema resonante críticamente amortiguado (por ejemplo: caja cerrada con Q=0,5, Bessel).

El tiempo de subida puede interpretarse como parte del comportamiento paso alto que tiene la onda, al final vemos que la onda desaparece dejando sólo una ligera sobreoscilación, que puede deberse a un error en la simulación.

En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema subamortiguado, en el caso una caja cerrada con Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilación al final es mayor.

La última imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4º orden, no de 2º. Conocemos las ventajas de extensión de la respuesta de las BR, y también que se consigue a base de penalizar la respuesta temporal.

Aquí vemos el porqué. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor máximo que debía alcanzar.

Esto da una idea de que el orden también es un elemento tan importante como el coeficiente de amortiguamiento.

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RESONANCIA

Nos quedamos con la solución particular del apartado anterior, las vibraciones forzadas, que es la parte estacionaria.

De ella, una parte es periódica y otra no, es su coeficiente, y éste coeficiente depende del la frecuencia.

El módulo depende de las condiciones de masa (M), amortiguamiento (c) y la constante elástica (k), y por supuesto de la frecuencia y de F0.

Cuando c es muy pequeño hemos observado antes que la frecuencia de resonancia del sistema

 

 tiende a

 

, y la gráfica del coseno modulada por la exponencial decreciente tarda mucho en decrecer, para intervalos de tiempo razonablemente pequeños, el movimiento descrito con poco amortiguamiento se asemejará la un simple coseno, como si no existiese amortiguamiento.

Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad a su frecuencia, pero ¿qué pasará si forzamos la vibración con una fuerza cosenoidal de frecuencia próxima a Fs?

Cuando se excita el sistema con una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia

En uno de los términos del denominador sucede lo siguiente:

Y como hemos dicho que c tiene un valor muy pequeño, el denominador entero tiende a cero, sólo pudría serlo si c fuese cero (pero entonces la ecuación sería diferente). Esto hace que se obtengan valores del módulo muy altos, y lo que sucede en la realidad es que la amplitud de la vibración es muy alta, tanto mayor como menor sea el amortiguamiento.

A este fenómeno que consiste en que a una frecuencia se obtienen amplitudes de vibración muy altas con muy poca fuerza se le denomina resonancia, y está presente en todos los sistemas resonantes por alto que sea su amortiguamiento.

En la gráfica de la derecha podemos ver una simulación de un sistema resonante con amortiguaciones bajas sometido a un barrido de frecuencias. El eje Y marca la amplitud (1 metro en condiciones normales) y el eje x la frecuencia que se imprime al circuito

No es descabellado ver que se obienen amplitudes extremadamente grandes, 20 metros, pero se podían haber forzado más.

En el caso de altavoces es posible obtener ondas de salida que corresponden a valores varias veces mayores de lo que serían en otras condiciones, y como hemos visto en el caso anterior, se penaliza la respuesta temporal del sistema.

 

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ANALOGÍA CON LA ELECTRICIDAD

La ecuación de las vibraciones forzadas tiene una gran analogía con una ecuación que se encuentra en la resolución de sistemas eléctricos pasivos sencillos, la red RLC

Analizando el circuito, tenemos lo siguiente:

  • R: Resistencia
  • L: Bobina (inductor)
  • C: Condensador (capacitor)
  • Fuente de fuerza electromotriz (voltaje)

Las fórmulas correspondientes son las siguientes:

Y sabemos por la 2ª ley de Kirchoff que la tensión producida por la fuente es igual a la suma de las caídas de tension en los demás elementos:

Por lo tanto, la solución es:

Esta ecuación por si sóla muestra una gran analogía con la ya conocida

, y en el caso de vibraciones forzadas

De esta manera podemos establecer la siguiente relación:

Masa M

=

Inductancia L

Viscosidad c

=

Resistencia R

Constante del muelle k

=

Inversa de la capacidad 1/C

Desplazamiento x

=

Carga del condensador Q.

Esta herramienta permite trabajar independientemente con sistemas resonantes bien sean mecánicos o eléctricos, además de esto se pueden deducir conceptos muy interesantes, sobre todo el referido al amortiguamiento y al tipo de movimineto, dada la clara relación entre resistencia eléctrica R y el coeficiente de amortiguamiento c.

En los sistemas eléctricos de 2º orden se producen los mismos fenómenos. Examinamos a continuación el comportamiento ante pulsos cuadrados de un filtro de 2º orden de paso bajo:

A la derecha podemos observar un filtro de paso bajo de 2º orden con un comportamiento marcadamente subamortiguado. Superpuesta, la onda cuadrada de entrada.

Se supera la tensión de la onda de entrada, luego sacaremos una conclusión de esto.

Aqui se muestra el de Chebychev, un filtro con una Q mayor de lo habitual en altavoces (1) pero muy utilizado en otras disciplinas por motivos que también examinaremos a continuación.

Ahora vemos la respuesta ante la onda cuadrada de un filtro con Q=0,707, que da un comportamiento también subamortiguado pero con menos overshot que los anteriores.

Se trata de la configuración de Butterworth, sumamente extendido en la construcción de cajas acústicas por que es el que da la respuesta más plana. Luego lo veremos más en detalle.

Bessel, el que tiene la Q=0,5 y comportamiento críticamente amortiguado. Es la línea divisoria entre los sobreamortiguados y los subamortiguados.

Y para terminar, un filtro sobreamortiguado, en el que no hay ningún signo de overshot (sobreoscilación).

A priori el que mejor características tiene es éste, el sobreamortiguado, pero esto sólo se refiere a uno de los varios aspectos que posee un filtro, la respuesta temporal.

Esto no es nuevo, hemos comprobado antes que cuanto mayor es la amortiguación mejor es la respuesta temporal.

A la derecha se puede comparar la respuesta de todos los filtros superpuestos, junto a la onda de entrada.

... y para terminar, la respuesta de todos los filtros pero no superpuesta. Abajo, la onda de entrada.

Como hemos dicho antes, éste comportamiento es sólo uno de los aspectos del filtrado, pero quedan otros también muy importantes: la respuesta en frecuencia, la fase y el retardo de grupo.

Aquí está otro de los aspectos más importantes del filtrado, la respuesta en frecuencia. Se emplea un paso bajo de 2º orden a 1kHz, con las mismas características que los utilizados para la anterior simulación.

Con el punto de -3dB a una frecuencia fija se puede observar lo siguiente:

El que más filtra atenúa la banda eliminada es el subamortiguado, le siguen Chebychev, Butterworth, Bessel y por último, el que menos atenuación produce es el sobreamortiguado.

Y un fenómeno curioos, que hemos visto antes en los filtros subamortiguado, Chebychev y Butterworth, pero que ahora en esta última gráfica no sucede con el Butterworth: Los filtros con Q mayores producen valores de señal por encima de la entrada en frecuencias próximas al punto de -3dB... ¿porqué?

Por la resonancia. Los filtros con amortiguamientos bajos producen una cierta resonancia eléctrica que es lo que genera ese pico al final de la banda. Es exáctamente lo mismo que con sistemas mecánicos, cuando la amortiguación es baja el sistema tiene gran facilidad para vibrar a la frecuencia impresa, y alcanzan grandes amplitudes.

Y ahora, dada la analogía entre sistemas mecánicos y eléctricos... ¿sería posible modificar el amortiguamiento de un filtro? Efectivamente, si que se puede, y es tan simple como variar una simple resistencia. Es sencillo hacer la prueba: se requiere un altavoz, un filtro, micrófono y ruido blanco: A medida que se añaden resistencias en serie (se suman al valor de R) comenzará a aparecer un pico al final de la banda, y cada vez la caída es más abrupta. Si se ponen resistencias en paralelo, (disminuyen el valor de R), se comprobará cómo la caída será cada vez más gradual. Y paradójicamente la frecuencia de corte permanecerá prácticamente inalterada. Como hemos visto en la fórmula de la frecuencia de resonancia,

El coeficiente de viscosidad c (equivalente a resistencia eléctrica) es una parte de la ecuación, pero no la única.

Un aviso para los que quieran hacer la prueba: toda resonancia eléctrica tiene como consecuencia bruscas variaciones en la impedancia, y se pueden alcanzar valores muy bajos. De este mayor consumo de corriente es de donde sale la energía eléctrica que hace vibran con mayor amplitud el sistema resonante eléctrico.

Como ya hemos visto, esta resonancia empeora los parámetros temporales.

Hay otra forma de medir el empeoramiento de los parámetros temporales, es la fase, aunque se refiere más a nivel de una sóla frecuencia.

Y no hay sorpresas, los filtros de mayor amortiguamiento son los que producen variaciones de fase más leves, y los otros más bruscas.

También el retardo de grupo (nos muestra la variación de la fase frente a la frecuencia), confirma lo que ya sabíamos.

 

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